調查局三等申論題
112年
[電子科學組] 工程數學
第 五 題
五、空間 A 以 $\left\{ \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \ 2 \end{bmatrix} \right\}$ 為基底，向量 $x$ 在 A 中的座標為 $\begin{bmatrix} -2 \ 1 \end{bmatrix}$，則 $x$ 在以 $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \ -2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix} \right\}$ 為基底的空間 B 中的座標為何？（15 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
解決基底轉換問題，最穩健的方法是將「標準基底（Standard Basis）」作為橋樑。第一步，先利用給定的空間 A 基底與座標，計算出向量 $x$ 在標準空間下的實際分量；第二步，再將此標準分量表示為空間 B 基底的線性組合（透過解線性方程組或左乘反矩陣），即可求得目標座標。
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【解題思路】利用標準基底作為座標轉換的橋樑：先還原向量 $x$ 在標準空間的分量，再求其對應於新基底的座標矩陣。 【詳解】 已知：
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