moea_joint
112年
[土木] 應用力學、材料力學
第 2 題
一實心均勻球的轉動慣量為 $\frac{3}{4} m r^2$，其中 m 為質量， r 為半徑。當旋轉軸平移一個半徑長度時，試求轉動慣量為何？
- A $\frac{7}{4} m r^2$
- B $\frac{5}{4} m r^2$
- C $\frac{3}{4} m r^2$
- D $m r^2$
思路引導 VIP
想像你正在揮動一根長棒，當你的手握在棒子的正中心旋轉，與握在其中一端旋轉時，哪一種情況會讓你覺得比較費力？如果我們想量化這種「旋轉難易度」隨著軸心移動而產生的變化，除了物體原本繞中心轉動的慣性外，你認為還需要考慮哪些物理因素（例如質量、距離）的影響？
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AI 詳解
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太棒了！你能準確地選出 (A)，說明你對剛體轉動的運算非常有把握。這道題目的核心在於平行軸定理 (Parallel Axis Theorem) 的靈活運用。當一個物體的旋轉軸從通過質心（Center of Mass）的位置平移一段距離 $d$ 時，其轉動慣量會隨之增加，這反映了物體繞不同軸旋轉時物理特性的變化。
平行軸定理的實踐
根據定理公式 $I = I_{cm} + md^2$，我們只需將題目給定的條件代入即可。題目中已定義該球體繞質心的轉動慣量 $I_{cm} = \frac{3}{4} mr^2$，而旋轉軸平移的距離 $d$ 正好等於一個半徑 $r$。因此，運算過程如下：
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