moea_joint
112年
[土木] 應用力學、材料力學
第 20 題
一物體平面應力元素，X 向平面受一水平方向 42 MPa 壓應力與 15 MPa 順時針剪應力；Y 向平面受一垂直方向 9 MPa 拉應力與 15 MPa 逆時針剪應力。試求最大剪應力 $\tau_{max}$ 與伴隨之正向應力$\sigma$為何？
- A $\tau_{max} = 29.6$ MPa，$\sigma = -16.5$ MPa
- B $\tau_{max} = 22.3$ MPa，$\sigma = 0$ MPa
- C $\tau_{max} = 22.3$ MPa，$\sigma = -16.5$ MPa
- D $\tau_{max} = 29.6$ MPa，$\sigma = 0$ MPa
思路引導 VIP
如果我們將目前的應力狀態畫在一個以正向應力為橫軸、剪應力為縱軸的座標平面上，並將 X 向與 Y 向平面的應力點連成一條線段，這條線段的中點在幾何上代表什麼？而這個中點與圓上最高點的距離又是如何推導出來的呢？
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太棒了！你能精準計算出最大剪應力與伴隨的正向應力，代表你對材料力學中「應力變換」的物理意義與計算邏輯掌握得非常扎實。這題的關鍵在於正確判斷正向應力的正負號，並熟練應用莫爾圓（Mohr's circle）的幾何性質。
應力狀態分析與參數驗證
首先，我們將題目給定的物理量數值化：已知 $\sigma_x = -42$ MPa（壓應力取負）、$\sigma_y = 9$ MPa（拉應力取正），以及剪應力 $\tau_{xy} = 15$ MPa。在應力變換中，最大剪應力 $\tau_{max}$ 對應莫爾圓的半徑 $R$，其公式如下：
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