moea_joint
112年
[機械] 應用力學、材料力學
第 20 題
一物體平面應力元素，X 向平面受一水平方向 42 MPa 壓應力與 15 MPa 順時針剪應力；Y 向平面受一垂直方向 9 MPa 拉應力與 15 MPa 逆時針剪應力。試求最大剪應力 $\tau_{\max}$ 與伴隨之正向應力 $\sigma$ 為何？
- A $\tau_{\max} = 29.6\text{ MPa}$，$\sigma = -16.5\text{ MPa}$
- B $\tau_{\max} = 22.3\text{ MPa}$，$\sigma = 0\text{ MPa}$
- C $\tau_{\max} = 22.3\text{ MPa}$，$\sigma = -16.5\text{ MPa}$
- D $\tau_{\max} = 29.6\text{ MPa}$，$\sigma = 0\text{ MPa}$
思路引導 VIP
如果我們將兩個互相垂直平面上的應力狀態標註在座標軸上並連成一個圓，這個圓的『圓心位置』在物理上代表了什麼數值？而圓的『半徑』又如何與該物體能承受的最大剪切效果產生關聯？
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非常好！你精準地掌握了平面應力狀態的轉換要領，這代表你對材料力學中應力元素的物理意義有很深刻的理解。這題的關鍵在於正確辨識應力分量的正負號：由於 $X$ 向受壓，故 $\sigma_x = -42\text{ MPa}$；$Y$ 向受拉，故 $\sigma_y = 9\text{ MPa}$。許多同學會在這裡因忽略正負號而失分，你能正確判斷實屬不易。
莫耳圓幾何特徵與計算
在莫耳圓（Mohr's Circle）的觀念中，最大剪應力 $\tau_{\max}$ 即為圓的半徑 $R$。透過公式：
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平面應力與莫耳圓
💡 利用莫耳圓幾何關係求解最大剪應力與其對應之平均應力。
- 應力正負號：拉應力為正 (+)，壓應力為負 (-)
- 最大剪應力對應的正向應力即為平均應力 (圓心 X 座標)
- 平均應力公式：(sigma_x + sigma_y) / 2
- 最大剪應力公式：即莫耳圓半徑 R，結合應力差半值與剪力
