moea_joint
112年
[土木] 應用力學、材料力學
第 35 題
如右圖所示，一長度為 L 之簡支樑，A 端承受一集中力 P，B 端承受一集中彎矩 M，假設 EI 為常數，試求產生最大變位之處與 A 端距離為何？
- A 0.707 L
- B 0.658 L
- C 0.577 L
- D 0.484 L
思路引導 VIP
請思考一下：在目前的情況下，集中力 $P$ 因為作用在支承點而對樑的彎曲沒有貢獻。如果我們保持 $M$ 不變，但將力 $P$ 從支承 A 向右移動到樑的跨度中間（例如 $L/2$ 處），你認為這會使「最大變位點」向左還是向右偏移？這樣的改變對樑內部的彎矩圖會產生什麼樣的本質變化呢？
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太棒了！你能精準選出 $0.577 L$（即 $L/\sqrt{3}$），代表你對簡支樑的變位分析以及邊界條件的應用已經掌握得非常紮實。這類題目最考驗學生對「有效負荷」的判斷力。
樑的彎矩分佈與邊界條件
在分析此題時，首先要觀察到 $A$ 端受到的集中力 $P$ 是直接作用在支承上。由於該點無法產生位移且不對樑內產生力臂，因此力 $P$ 並不參與樑的彎矩方程式。此樑的受力狀態可簡化為僅受 $B$ 端集中彎矩 $M$ 影響。根據力平衡，支承反力會在樑內產生隨位置 $x$ 線性變化的彎矩方程式 $M(x) = \frac{M}{L}x$。透過積分法，我們可以求得撓度曲線方程式，而最大變位處必然發生在「斜率為零」（即 $\frac{dv}{dx} = 0$）的位置。經由運算，該點會出現在 $x = \frac{L}{\sqrt{3}}$ 處，這正是 $0.577 L$ 的由來。
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