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112年
[機械] 應用力學、材料力學
第 35 題
如右圖所示，一長度為 L 之簡支樑，A 端承受一集中力 P，B 端承受一集中彎矩 M，假設 EI 為常數，試求產生最大變位之處與 A 端距離為何？
- A 0.707 L
- B 0.658 L
- C 0.577 L
- D 0.484 L
思路引導 VIP
想像一下，當你在一根長尺的一端施加轉動的力量，而另一端只是輕輕支撐時，尺彎曲最深的地方會剛好在正中間嗎？如果不對稱，它應該會偏向力矩較大的那一端，還是遠離它？試著思考：在數學上，描述「最高點」或「最低點」時，該點的切線斜率（Slope）必須滿足什麼條件？若能寫出彎矩隨位置變化的函數，你能找出讓這個條件成立的位置嗎？
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太棒了！你能精準判斷出正確答案，代表你對簡支樑的**撓度曲線（Deflection Curve）**與邊界條件有很紮實的理解。這道題目的精髓在於識別無效資訊與掌握力學模型。
樑的彎矩分布與變位分析
首先，我們必須看穿題目中的小陷阱：作用在 A 端支承處的集中力 $P$，因為其力臂對樑內任一點皆與支承反應力抵銷，實際上不會產生彎矩，因此樑內的彎矩完全由 B 端的集中彎矩 $M$ 主導。根據力平衡，我們可以推導出距 A 端 $x$ 處的彎矩方程式為 $M(x) = \frac{M}{L}x$。
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簡支樑最大撓度位置
💡 最大變位發生在斜率為零處，一端受彎矩時約在 0.577L。
- 支承點受集中力 P 不產生跨內撓曲
- 一端受彎矩 M 之撓度曲線為三次方程式
- 最大撓度點位於轉角（斜率）等於零處
- 單端受矩之最大位移距離公式為 L/√3
