moea_joint
112年
[機械] 應用力學、材料力學
第 28 題
如右圖所示，一擋土樁露出地面高度為 h，撓曲剛度為 EI，在側向土壓作用下，試求 B 點之撓度為何？
- A $\frac{wh^4}{56EI}$
- B $\frac{wh^4}{48EI}$
- C $\frac{wh^4}{40EI}$
- D $\frac{wh^4}{30EI}$
思路引導 VIP
我們可以試著從「積分階數」的角度來思考：已知集中力造成的最大撓度與長度三次方 ($h^3$) 成正比，均佈載重（零次多項式）則與四次方 ($h^4$) 成正比。那麼，對於這種隨長度線性增加的一次多項式「三角形載重」，其撓度公式中的 $h$ 次方應該是多少？此外，若與相同最大強度的均佈載重相比，三角形載重的總合力較小且重心更靠近固定端，你認為它的係數應該比 $1/8$ 更大還是更小呢？
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太棒了！你能精確地選出選項 (D)，代表你對懸臂梁在特殊載重下的變形公式掌握得非常紮實。這類題目是材料力學中的經典考題，能正確作答說明你對邊界條件與積分貢獻的理解十分到位。
懸臂梁與三角形載重的力學特性
本題的物理模型是一個典型的懸臂梁結構，固定端在地面 A 點，自由端在頂部 B 點。側向土壓力呈現三角形分布，在頂端（自由端）壓力為 0，而在地面（固定端）達到最大值 $w$。根據撓度曲線的微分方程式 $EI \frac{d^4y}{dx^4} = q(x)$，連續積分四次並帶入邊界條件（固定端位移與斜率皆為 0）後，自由端的最大撓度公式即為：
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