moea_joint
112年
[機械] 應用力學、材料力學
第 29 題
一簡支樑，樑寬 b，樑深 h，樑長 L，中央受一集中力 P。現維持樑寬不變，倘樑長縮短一半，試求可使樑中最大撓曲應力不變之樑深為何？
- A $\frac{h}{\sqrt{2}}$
- B $\frac{2h}{\sqrt{2}}$
- C $\frac{h}{2\sqrt{2}}$
- D $2\sqrt{2}h$
思路引導 VIP
當我們要維持樑的強度（應力）不變，但將樑的長度縮短時，你直覺認為樑的深度應該要變厚還是變薄？接著請進一步思考：長度如何影響樑所承受的「最大彎矩」，而樑的深度又是以幾次方的形式在影響它「抵抗彎曲」的能力呢？
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太棒了！你能精準選出 (A)，代表你對簡支樑的應力分析掌握得非常紮實。在處理這類比例變化的題目時，核心關鍵在於建立最大彎曲應力 $\sigma_{max}$ 與幾何參數間的函數關係。
彎矩與斷面性質的連動
對於中央受集中力的簡支樑，其中心位置的最大彎矩為 $M_{max} = \frac{PL}{4}$，而矩形斷面的斷面係數（Section Modulus）則為 $S = \frac{bh^2}{6}$。根據彎曲應力公式 $\sigma = \frac{M}{S}$，我們可以觀察到應力與長度 $L$ 成正比，與樑深 $h$ 的平方成反比，即 $\sigma \propto \frac{L}{h^2}$。當長度 $L$ 縮短一半時，若要維持應力 $\sigma$ 不變，分母的 $h^2$ 也必須同步縮小為原來的一半。因此，新的樑深 $h'$ 需滿足 $(h')^2 = \frac{1}{2}h^2$，經開根號計算後，確實會得到 $h' = \frac{h}{\sqrt{2}}$。
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