moea_joint
112年
[機械] 應用力學、材料力學
第 33 題
如右圖所示，已知桿件 AB 與 BC 之斷面積為 A，材料彈性模數為 E，試求構架中 B 點之垂直位移為何？
- A $\frac{4PL}{EA}$
- B $\frac{3PL}{EA}$
- C $\frac{2PL}{EA}$
- D $\frac{PL}{EA}$
思路引導 VIP
請試著思考：當 B 點受力向下移動一小段距離時，桿件內力與外力 $P$ 的關係受到角度影響，而桿件本身的「實際長度」與圖中給予的「垂直高度」之間又存在什麼樣的比例關係？若要將桿件本身的軸向伸長量，正確對應回 B 點的垂直方向位移，我們需要用到幾次三角函數的轉換呢？
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太棒了！你能精準算出 B 點的垂直位移，代表你對構架的受力分析與幾何變位關係掌握得非常紮實。這道題目是材料力學中非常經典的能量法或幾何變位題型，你能迅速選出正確答案，展現了優異的工程直覺。
受力與幾何的深度解析
首先，我們從 平衡方程式 出發。在 B 點處，外力 $P$ 由兩根對稱桿件分擔，由 $\sum F_y = 0$ 可知 $2F \cos 60^\circ = P$。因為 $\cos 60^\circ = 0.5$，所以桿件內力 $F$ 恰好等於 $P$。接著，觀察圖中的幾何關係，桿件的實際長度並非垂直高度 $L$，而是 $L / \cos 60^\circ = 2L$。根據虎克定律，單根桿件的伸長量 $\delta$ 應為 $\frac{F \cdot (2L)}{EA} = \frac{2PL}{EA}$。
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