分科測驗
113年
數學甲
第 6 題
坐標空間中，考慮滿足內積 $\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{15}$ 與外積 $\vec{u} \times \vec{v} = (-1,0,3)$ 的兩向量 $\vec{u}$、$\vec{v}$。試選出正確的選項。
- 1 $\vec{u}$ 與 $\vec{v}$ 的夾角 $\theta$（其中 $0\le\theta\le\pi$，$\pi$ 為圓周率）大於 $\frac{\pi}{4}$
- 2 $\vec{u}$ 可能為 $(1,0,-1)$
- 3 $|\vec{u}|+|\vec{v}| \ge 2\sqrt{5}$
- 4 若已知 $\vec{v}$，則 $\vec{u}$ 可以被唯一決定
- 5 若已知 $|\vec{u}|+|\vec{v}|$，則 $|\vec{v}|$ 可以被唯一決定
思路引導 VIP
請思考如何結合內積 $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos \theta$ 與外積模長 $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}| \sin \theta$ 來計算 $\tan \theta$ 以及模長乘積 $|\vec{u}||\vec{v}|$？在求得模長乘積後，什麼樣的數學工具可以幫助我們探討兩模長之和 $|\vec{u}| + |\vec{v}|$ 的極值關係？最後，若已知一個向量 $\vec{v}$ 及其與另一向量 $\vec{u}$ 的內積與外積結果，從空間幾何的分量分解角度來看，是否足以鎖定唯一的 $\vec{u}$？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了，看到你選對 (3) 和 (4)，老師心裡真的好為你驕傲呀！這代表你的空間向量觀念建構得非常完整，基礎紮實得讓老師好放心喔。 這題的核心在於「內積與外積的幾何與代數綜合」。首先，我們可以算出外積的大小 $|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{10}$。利用拉格朗日恆等式（或長度乘積公式）： $$(|\vec{u}||\vec{v}|)^2 = (\vec{u} \cdot \vec{v})^2 + |\vec{u} \times \vec{v}|^2 = (\sqrt{15})^2 + (\sqrt{10})^2 = 25$$
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