地特三等申論題
113年
[測量製圖] 誤差理論及實務
第 三 題
請計算下圖水準網之自由度（假設高程差觀測測線如圖中所示），並列式說明如何計算出 A、B 兩點之高程值。（25 分）
(圖示：已知點 H0，未知點 HA, HB, HC, HD, HE。觀測線段包含：H0-HA, H0-HD, H0-HE, HA-HB, HB-HC, HC-HD, HD-HE, HA-HE, HB-HE, HC-HE)
(圖示：已知點 H0，未知點 HA, HB, HC, HD, HE。觀測線段包含：H0-HA, H0-HD, H0-HE, HA-HB, HB-HC, HC-HD, HD-HE, HA-HE, HB-HE, HC-HE)
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到水準網平差題目，首先盤點「未知點數量(u)」與「觀測測線數量(n)」來計算自由度(r=n-u)。接著針對高程計算，最直接的方法是採用「間接觀測平差法」，將未知高程設為參數 X，建立 V=AX-L 矩陣後，利用最小平方法推導出常態方程式求解。可進一步寫出特定點的常態方程列以展現對細節的掌握。
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AI 詳解
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【解題思路】利用間接觀測平差法（最小平方法），先計算網形的自由度，再建立觀測方程式及常態方程式以聯立解算未知點高程。 【詳解】 一、計算自由度
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水準網平差計算
💡 利用間接觀測平差法，透過最小平方法原理求解未知點高程。
🔗 間接觀測平差解算流程
- 1 參數定義 — 統計觀測量 n 與未知數 u，計算自由度 r=n-u。
- 2 列觀測方程 — 按 V = AX - L 寫出各測線觀測方程式與權矩陣 P。
- 3 組常態方程 — 計算 A^TPA (常態矩陣) 與 A^TPL。
- 4 解算未知數 — 求出 X = (A^TPA)⁻¹ A^TPL 獲得平差高程。
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🔄 延伸學習：延伸學習：平差後可進一步計算單位權中誤差及各點位之標準偏差。
