高考申論題
114年
[測量製圖] 誤差理論及實務
第 四 題
四、請說明在一個平差問題中，法方程係數矩陣如何計算？並說明其維度與可解條件各為何？（25 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到此題，應立即聯想間接平差（參數平差）的標準數學模型 V = AX - L 與最小平方法原理 V^TPV = min。從推導過程中帶出法方程係數矩陣 N = A^TPA，接著說明矩陣相乘後的維度 u × u，最後結合數學的滿秩條件與測量學的幾何構形、基準定義來論述可解條件。
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【破題】法方程係數矩陣是測量平差中，基於最小平方法求解未知參數的最核心矩陣，由觀測方程式與權矩陣推導而來，其性質直接反映測量網的幾何強度與基準定義。 【論述】 一、法方程係數矩陣之計算推導
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法方程係數矩陣
💡 基於最小平方法原理，由設計矩陣與權矩陣合成的參數求解核心。
🔗 法方程式推導邏輯鏈
- 1 觀測方程式 — 建立 V = AX - L 之線性化幾何關係
- 2 最小化目標 — 定義加權殘差平方和 VᵀPV 為最小
- 3 一階偏微分 — 對未知參數 X 求導並令其為零
- 4 法方程式成立 — 整理得 (AᵀPA)X = AᵀPL，其中 N=AᵀPA
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🔄 延伸學習：延伸學習：法方程係數矩陣的逆矩陣 (N⁻¹) 正比於參數的協方差矩陣。
