高考申論題
114年
[測量製圖] 誤差理論及實務
第 三 題
三、某人進行如下圖之高程差觀測，請計算其多餘觀測數為何？假設各測線距離大致相等，則經過最小二乘平差後各觀測值之誤差改正量各為何？（25 分）
L1 = 1.65 m
L2 = -1.25 m
L3 = 0.86 m
L4 = -1.23 m
L5 = -0.34 m
（註：圖形包含四個頂點構成的外環及一條對角線 L5）
L1 = 1.65 m
L2 = -1.25 m
L3 = 0.86 m
L4 = -1.23 m
L5 = -0.34 m
（註：圖形包含四個頂點構成的外環及一條對角線 L5）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
本題核心在於測量平差的網形幾何條件分析。解題時應先從節點數與觀測總數求出多餘觀測數 (r = 2)；接著依據圖中箭頭方向定義各高差的起終點，並建立兩個獨立閉合環的條件方程式。最後，因測線等距即等權 (P=I)，代入條件平差矩陣求解聯繫數 (K)，即可反求出各觀測值的誤差改正量 (V)。
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【解題關鍵】由節點與觀測數推導多餘觀測數，並利用條件平差法建立幾何閉合條件矩陣求解誤差改正量。 【解答】 依據圖形中各頂點相對位置與箭頭指向，定義四個頂點為：A(左)、B(上)、C(右)、D(下)。觀測量定義為「終點高程 - 起點高程」，可得：
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水準網條件平差計算
💡 透過獨立閉合環建立幾何約束，以最小二乘法求解觀測值改正量。
🔗 條件平差法解題步驟
- 1 幾何分析 — 由點數與觀測數計算多餘觀測數 r
- 2 條件建立 — 挑選獨立閉合環並計算閉合差 W
- 3 矩陣運算 — 建構矩陣 C 並解法方程式求 K
- 4 求改正量 — 代入 V = CᵀK 得到各觀測值之改正
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🔄 延伸學習：延伸學習：當各觀測線距離不等時，應改用權矩陣 P (與距離成反比) 進行平差。
