高考申論題
114年
[測量製圖] 誤差理論及實務
第 二 題
二、請說明觀測量權矩陣之組成方式以及其在最小二乘平差計算中所扮演的角色？此外，一合理的觀測量權矩陣其秩（rank）應為何？（25 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到此題，應立即聯想最小二乘法的核心目標函數（V^T P V = min）與隨機模型。作答時需分三層次：先以變異數-協變異數矩陣的反矩陣定義權矩陣（P）的組成；次論述其在平差中「分配殘差影響力」及「統一不同物理量綱」的關鍵作用；最後由正定矩陣的數學性質，推導出合理的權矩陣必須為滿秩（Full Rank）。
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【破題】 觀測量權矩陣（Weight Matrix）是測量平差中「隨機模型」的核心，用於描述觀測值的精度與彼此間的相關性，並在最小二乘法中決定各觀測值對最終未知數估計結果的影響力。 【論述】
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觀測量權矩陣分析
💡 權矩陣為隨機模型核心，決定觀測量影響力並確保平差解唯一。
🔗 權矩陣於平差計算之流程
- 1 建立共變異矩陣 — 依觀測精度與相關性組成正定矩陣 Sigma
- 2 計算權矩陣 P — 取共變異矩陣之反方，確保 Rank 為 n
- 3 最小化目標函數 — 使加權殘差平方和 VTPV 為最小
- 4 求解法方程式 — 求得參數估計值並達到 BLUE 特性
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🔄 延伸學習：延伸學習：後驗單位權變異數的檢核與權矩陣的驗證。
