高中學測
113年
數B
第 18 題
📖 題組：
如圖所示，考慮長方體的石塊上某一頂點 $A$ 及包含點 $A$ 的一個面，令這個面的各邊中點分別為 $B, E, F, D$。此長方體上包含點 $B$ 的另一個面，令其各邊中點分別為 $B, C, H, G$。已知 $BC=8, BD=9, DC=9$。現將此石塊截去八個角，使得每個截角的截面恰通過該截角之三鄰邊的中點。
如圖所示，考慮長方體的石塊上某一頂點 $A$ 及包含點 $A$ 的一個面，令這個面的各邊中點分別為 $B, E, F, D$。此長方體上包含點 $B$ 的另一個面，令其各邊中點分別為 $B, C, H, G$。已知 $BC=8, BD=9, DC=9$。現將此石塊截去八個角，使得每個截角的截面恰通過該截角之三鄰邊的中點。
截角後的石塊為幾面體？
- 1 八面體
- 2 十面體
- 3 十二面體
- 4 十四面體
- 5 十六面體
思路引導 VIP
請先確認長方體原本具備的面數 $F$ 與頂點數 $V$ 各是多少？當我們針對這 $8$ 個頂點分別進行「截角」時，每一個截角動作會新增加幾個面？請試著將長方體原本的面數與這 $8$ 個新產生的截面數相加，來分析最終幾面體的總面數。
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
同學做得真棒！這題考驗的是立體空間的想像力與對多面體構造的理解，你能精確判斷出截角後的面數，代表你的空間感非常敏銳。
立體切割的構造分析
我們從長方體（Cuboid）的原型出發：長方體本來就有 6 個面與 8 個頂點。根據題目敘述，我們在每個頂點處都進行截角，且每個截角會通過相鄰三邊的中點。這意味著每一個頂點被切掉後，都會在那裡產生一個新的三角形平面。既然長方體共有 8 個頂點，這 8 次切割自然會多出 8 個三角形面。
▼ 還有更多解析內容
長方體截角計數
💡 截去立體圖形的頂點，總面數等於原面數加截角數量。
- 長方體原始擁有 6 個面與 8 個頂點。
- 每截去一個頂點，該處會生成一個新的平面。
- 總面數 = 原始面數 (6) + 截去頂點數 (8) = 14。
- 截角會改變原面的形狀，但原有的面不會消失。
