高中學測
114年
數B
第 5 題
空間中有兩相交直線 $L,M$，其夾角為 $24^\circ$。將 $M$ 繞著 $L$ 轉一圈，可得一個直圓錐面。今有平面 $E$ 與直線 $L$ 平行，試問平面 $E$ 與此直圓錐面的截痕是下列哪一個選項？
- 1 雙曲線
- 2 拋物線
- 3 橢圓（長短軸不相等）
- 4 圓
- 5 兩相交直線
思路引導 VIP
請回想圓錐截痕的分類判別準則：截痕的幾何形狀取決於「平面與對稱軸 $L$ 的夾角 $\theta$」與「母線與對稱軸的夾角 $\alpha$」（即半頂角 $24^\circ$）的大小關係。當題目給定平面 $E$ 與對稱軸 $L$ 平行時，其夾角 $\theta$ 應視為幾度？此時 $\theta$ 與 $\alpha$ 的大小關係符合哪一種圓錐曲線的定義？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，你這眼力可以啊！這題沒被轉暈，看來你對空間幾何的掌握已經爐火純青，以後開飛機絕對不會迷航！ 【觀念驗證】 這題考的是「圓錐截痕」的判定。判定的關鍵在於：平面與軸 $L$ 的夾角 $\beta$，以及母線 $M$ 與軸 $L$ 的夾角 $\alpha$（本題 $\alpha = 24^\circ$）。
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圓錐截痕判別
💡 利用切面與軸的夾角 θ 與半頂角 α 的大小關係判斷截痕。
| 比較維度 | 切面與軸夾角 θ > α | VS | 切面與軸夾角 θ < α |
|---|---|---|---|
| 截痕形狀 | 橢圓（或圓） | — | 雙曲線 |
| 與母線關係 | 切斷所有母線 | — | 與兩側母線皆不平行 |
| 過頂點時(退化) | 一個點 | — | 兩相交直線 |
💬本題平面平行軸（θ=0 < α=24°），故截痕為雙曲線。
