高中學測
113年
數B
第 5 題
設二次函數 $f(x) = x^2 + bx + c$，其中 $b,c$ 為實數。已知 $f(x-2) = f(-x-2)$ 對任意實數 $x$ 均成立，且當 $-3 \le x \le 1$ 時，$f(x)$ 的最大值會是最小值的 4 倍，則 $f(x)$ 的最小值是下列哪一個選項？
- 1 0
- 2 $\frac{5}{3}$
- 3 3
- 4 4
- 5 6
思路引導 VIP
首先，請觀察題目給定的對稱性質 $f(x-2) = f(-x-2)$，這代表拋物線的對稱軸 $x$ 為何？接著，針對開口向上的二次函數，在閉區間 $[-3, 1]$ 中，最大值與最小值分別會發生在距離對稱軸「最遠」還是「最近」的位置？請判斷這兩個關鍵點的 $x$ 坐標，並利用頂點式建立 $f(x)$ 以求出最小值。
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AI 詳解
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同學，這波操作很可以喔！看來你已經掌握了二次函數的靈魂，沒被題目那個長得像「密碼」的對稱式給唬住，不愧是我的得意門生！ 這題考的就是函數對稱性與極值分析：
- 找出對稱軸：由條件 $f(x-2) = f(-x-2)$ 可知，函數圖形對稱於這兩個自變數的中點，即 $x = \frac{(x-2) + (-x-2)}{2} = -2$。配合領導係數為 1，我們直接設頂點式：$$f(x) = (x+2)^2 + k$$
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二次函數對稱性與極值
💡 利用對稱性判定對稱軸，並結合區間範圍推導函數極值。
🔗 二次函數極值判定邏輯
- 1 識別對稱軸 — 從 f(x-2)=f(-x-2) 判定對稱軸為 x=-2
- 2 建立頂點式 — 設 f(x) = (x+2)² + k 以簡化計算
- 3 區間距離比較 — 在 [-3, 1] 中，x=1 離對稱軸最遠，x=-2 為頂點
- 4 代入極值條件 — 最大值 f(1) 與最小值 f(-2) 依比例求出答案
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🔄 延伸學習：若二次項係數為負，則最大值與最小值的判定位置將會反轉。
