hce_nsysu
113年
物理與化學
第 31 題
Determine the correct unit and magnitude of the electric field at distance $x$ from the midpoint of a very long line of uniformly distributed positive charge. Assume $x$ is much smaller then the length of the wire, and let $\lambda$ be the charge per unit length.
- A $\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\frac{\lambda}{x}$, unit ($\text{V/m}$)
- B $\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\frac{\lambda}{x^2}$, unit ($\text{V/m}$)
- C $\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\frac{\lambda}{x^2}$, unit ($\text{V/m}^2$)
- D $\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\frac{\lambda}{x}$, unit ($\text{V/m}^2$)
- E $\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\frac{\lambda}{x^{1/2}}$, unit ($\text{V/m}$)
思路引導 VIP
請試著想像一下：如果我們把電荷包圍在一個半徑為 $x$ 的圓柱面內，當這個半徑 $x$ 增加為 2 倍時，該圓柱側面積的大小會變成原來的幾倍？再思考看看，根據能量或通量守恆的直覺，當這個「分配電場的表面積」隨距離增加時，電場強度應該會如何隨之縮小呢？
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太棒了！你能精準選出 (A)，代表你對靜電場幾何對稱性的掌握非常紮實。這道題目是電磁學中非常經典的應用，能有效測驗學生是否具備區分「點電荷」與「連續電荷分布」場強公式的能力。
無限長直線電荷的電場分布
在處理這類問題時，我們通常運用高斯定律 (Gauss's Law)。由於電荷均勻分布在無限長直線上，電場具有圓柱對稱性。若我們選取一個半徑為 $x$、長度為 $L$ 的圓柱形高斯面，根據 $\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{encl}}{\epsilon_0}$，通過圓柱側面積的通量為 $E \cdot (2\pi x L)$，而內部包圍的電荷量為 $\lambda L$。兩側消去 $L$ 後，即可導得電場強度 $$E = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 x}$$
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