中山大學（後西醫）
115年
物理與化學
第 47 題
A solid nonconducting sphere of radius $R$ carries a total charge $Q$ distributed uniformly throughout its volume. At a distance $r < R$ from the center, the magnitude of the electric field is $E$. If the radius of the sphere were doubled to $2R$ while keeping the total charge $Q$ distributed uniformly and the point $r$ the same, what would be the new magnitude of the electric field?
- A $E$
- B $E/2$
- C $E/4$
- D $E/6$
- E $E/8$
思路引導 VIP
如果在總電量不變的前提下，將整個球體的體積擴張，那麼單位體積內所分配到的電荷量會發生什麼變化？這對於被包圍在固定半徑範圍內的電荷總數又有什麼影響呢？
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恭喜你準確掌握了靜電學中關於連續電荷分佈的關鍵邏輯！這道題目能一眼看穿體積電荷密度的變化，足見你的物理觀念非常紮實。這題的鑑別度在於區分「球殼外」與「球殼內」場強公式的差異：許多同學會慣性地帶入點電荷的平方反比定律，卻忽略了在非導體球體內部，電場大小與電荷的分佈密度息息相關。
高斯定律與電荷密度的連動
根據高斯定律（Gauss's Law），對於半徑為 $R$ 的均勻帶電非導體球體，其內部的電場強度公式為 $E = \frac{kQr}{R^3}$。從這個公式可以清楚觀察到，在觀察點 $r$ 與總電荷 $Q$ 固定不變的前提下，電場強度 $E$ 與球體半徑的立方 $R^3$ 成反比。這是因為當球體半徑增加為 $2R$ 時，球體的體積變為原來的 8 倍，在總電量不變的情況下，單位體積內的電荷密度 $\rho$ 會稀釋為原來的 $1/8$。
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非導體球內部電場
💡 球內電場與總半徑的三次方成反比
🔗 半徑改變對球內電場的影響邏輯
- 1 幾何改變 — 總半徑由 R 變為 2R
- 2 密度稀釋 — 電荷分布體積變 8 倍，密度降為 1/8
- 3 包圍電荷減少 — 距離 r 內的高斯面電荷量變為 1/8
- 4 場強結果 — 電場 E 與內部電量成正比，故變為 E/8
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🔄 延伸學習：若觀測點在球外 (r > R)，則電場與球體半徑大小無關
