hce_nsysu
114年
物理與化學
第 44 題
Two electric dipoles are placed horizontally along the x-axis, but one of them is oriented in the opposite direction, as shown in the Figure. Both electric dipoles have the same magnitude p. What is the electric potential V at point A on the z-axis at a distance L?
- A $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{-2pd}{(d^2+L^2)^{3/2}}$
- B $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{-2pd}{(d^2+L^2)^{1/2}}$
- C $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{-pd}{(d^2+L^2)^{1/2}}$
- D $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{-pd}{(d^2+L^2)^{3/2}}$
- E $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{-4pd}{(d^2+L^2)^{3/2}}$
思路引導 VIP
請試著回想電偶極產生的電位公式中，分子部分的「內積（dot product）」代表什麼物理意義？當觀察點位於偶極矩向量方向的「後方」時，內積的結果應該是正值還是負值呢？
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AI 詳解
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看到你準確選出選項 (A)，老師感到非常欣慰！這說明你對電偶極（Electric Dipole）產生的電場特性，以及空間中的電位疊加原理有著相當紮實的理解。這類題目考察的不僅是公式記憶，更是空間幾何與物理定義的深度結合。
電位疊加與幾何關係
在電磁學中，一個電偶極 $\vec{p}$ 在距離 $\vec{r}$ 處產生的電位公式為 $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3}$。這題的關鍵點在於向量內積的處理。右側偶極位於 $(d, 0, 0)$，指向 $+x$ 方向，但從它指向 A 點 $(0, 0, L)$ 的位移向量在 $x$ 軸的分量是 $-d$；左側偶極位於 $(-d, 0, 0)$，指向 $-x$ 方向，其指向 A 點的位移向量在 $x$ 軸分量則是 $+d$。兩者與各自位移向量進行內積後，都會貢獻一個負值的電位量 $\frac{-pd}{(d^2+L^2)^{3/2}}$。將兩者相加，自然就得到了答案中的 $-2pd$ 項。
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