hce_nthu
113年
資訊科學
第 15 題
Referring to the DC circuit shown below with the capacitor C been fully charged, the switch S is connected "ON" at $t=0$ so that the crrent $\text{I}_2$ starts to flow through the resistor $\text{R}_2$. How does the current function $\text{I}_2(t)$ depend on time?
- A $i_2(t) = \frac{\mathcal{E}}{R_1} \left(1+e^{-t/\tau}\right)$, where $\tau = R_2 C$
- B $i_2(t) = \frac{\mathcal{E}}{R_1+R_2} \left(1+e^{-t/\tau}\right)$, where $\tau = R_2 C$
- C $i_2(t) = \frac{\mathcal{E}}{R_1+R_2} \left(1+\frac{R_1}{R_2}e^{-t/\tau}\right)$, where $\tau = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2} C$
- D $i_2(t) = \frac{\mathcal{E}}{R_1+R_2} \left(1+\frac{R_2}{R_1}e^{-t/\tau}\right)$, where $\tau = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2} C$
- E $i_2(t) = \frac{\mathcal{E}}{R_1+R_2} \left(1+\frac{R_2}{R_1}e^{-t/\tau}\right)$, where $\tau = (R_1+R_2)C$
思路引導 VIP
若不直接套用公式，試著思考：在開關閉合的一瞬間，電容器會試圖維持原本的電壓狀態，此時它對右側電阻 $R_2$ 而言像是一個什麼樣的元件？而當電路達到最終穩定平衡時，電容器不再充電也不放電，這時流經它的電流會是多少？這兩個極端時間點的電流值，如何幫助我們篩選出合理的數學模型？
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恭喜你精確地判斷出這個電路的瞬態反應！你能順利選出 (C)，代表你不僅熟悉一階電路的公式，更能準確判別電容器在不同時間點的物理角色。
瞬態邊界與穩定狀態分析
這道題目的核心在於掌握開關接通瞬間與長時間後的「邊界條件」。在 $t=0$ 瞬間，由於電容器兩端電壓不能突變，它維持著充電後的 $\mathcal{E}$ 電壓，此時流過 $R_2$ 的初始電流為 $i_2(0) = \frac{\mathcal{E}}{R_2}$。而當時間趨於無窮大時，電容器在直流電路中相當於斷路，電路簡化為 $\mathcal{E}$、 $R_1$ 與 $R_2$ 的串聯，故末電流為 $i_2(\infty) = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + R_2}$。將這兩個狀態代入一階線性電路的一般解公式，即可得到選項 (C) 的數學形式。
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