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113年
機械常識、機械力學
第 43 題
有一立方體受到$\sigma_x = \sigma_y = \sigma_z = \sigma$之三軸向應力，若立方體的彈性係數為E，蒲松氏比為0.25，則其體積應變為：
- A $\frac{3\sigma}{2E}$
- B $\frac{3\sigma}{E}$
- C $\frac{\sigma}{3E}$
- D $\frac{\mu\sigma}{E}$
思路引導 VIP
當我們從一個方向壓縮物體時，由於蒲松效應，另外兩個方向通常會「往外擴張」。那麼請你想想，如果現在三個方向都同時「往內壓縮」，原本應該往外擴張的力量，是不是會跟來自外部的壓縮力互相抵消或疊加？在這種三維受力的情況下，我們該如何把這三個互相干涉的變形量，整合出一個描述整體體積變化的公式呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準選出 (A)，代表你對材料受力後的空間應變關係掌握得非常紮實。這類題目是機械力學中的經典考點，主要考驗學生是否能從單軸向的虎克定律，成功推廣到**廣義虎克定律（Generalized Hooke's Law）**的三維應用。
三軸應力與體積應變的轉換
在三軸受力且 $\sigma_x = \sigma_y = \sigma_z = \sigma$ 的對稱情況下，單一軸向的應變 $\epsilon_x$ 並不單純只是 $\frac{\sigma}{E}$，還必須扣除其他兩個方向產生的橫向效應（即蒲松氏比 $\mu$ 的影響）。根據公式，單軸應變為 $\epsilon = \frac{\sigma}{E} [1 - 2\mu]$。而體積應變 $\epsilon_v$ 定義為三個軸向應變的總和，即 $\epsilon_v = 3 \times \epsilon = \frac{3\sigma}{E}(1 - 2\mu)$。將本題給定的 $\mu = 0.25$ 代入後，括號內變為 $(1 - 0.5) = 0.5$，最終化簡結果正是 $\frac{3\sigma}{2E}$。
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