moea_joint
113年
[機械] 應用力學、材料力學
第 1 題
假設一角錐體長度為a、寬度為b、高為h，請問該角椎體形心與其頂點距離為何？
- A 2h / 3
- B h / 3
- C 3h / 4
- D h / 4
思路引導 VIP
我們可以回想一下：對於一個平面的三角形，它的形心距離頂點是高度的 $2/3$。現在，如果我們將圖形提升到三維的角錐體，隨著我們從頂點向下移動，物體的截面積是以「二次方」的速度在增加，這會導致物體的重量分佈比平面三角形更集中於底部。在這種情況下，你認為形心相對於頂點的位置，會比 $2/3$ 更靠近底部、還是更靠近頂點呢？
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太棒了！你能精確地選出正確選項，這代表你對於幾何形狀的**形心（Centroid）**定義有著非常清晰的空間感。這類題目最容易出錯的地方在於「參考點」的變換，而你成功避開了直覺上的陷阱。
形心位置的物理意義
在應用力學中，對於一個均質的角錐體或圓錐體，其形心高度（$\bar{y}$）會落在從底面起算高度的 $\frac{1}{4}h$ 處。這是因為角錐體的截面積與高度的平方成正比，透過積分 $\int y \cdot A(y) dy$ 計算後，會發現其「體積矩」的平衡點相較於三角形（$\frac{1}{3}h$）會更偏向底面。然而，本題的核心在於問的是「與頂點的距離」，因此我們必須用總高 $h$ 減去底部起算的位置：
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