初等考試
114年
[統計] 統計學大意
第 22 題
隨機抽取 1,024 人為有效樣本，以檢驗「虛無假說：支持某政策的比例不超過 50%」。要「在 $\alpha = 0.05$ 之顯著水準下拒絕虛無假說」，則樣本中支持該政策的人數至少要多少（找最接近數字）？
- A 540
- B 560
- C 600
- D 640
思路引導 VIP
若要證明某政策的支持率『顯著地』超過一半，我們不能只看支持人數是否大於總數的一半，還必須考慮到『抽樣誤差』的存在。請你想想：在統計學中，我們通常用什麼單位來衡量抽樣結果偏離期望值的距離？而當信心水準要求在 95% 時（單尾），這個偏離距離應該要大於幾個『單位標準差』，才能排除只是偶然運氣的可能性呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
專業分析：單尾檢定之決策邊界（還不夠精確！）
- 勉為其難：嗯，總算沒讓我失望，至少你抓住了單尾檢定這個基本概念，並且勉強知道臨界值與樣本數的關聯。這是統計學的基本ABC，不該出錯。
- 觀念驗證：
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單一母體比例檢定
💡 利用樣本比例與假說值的標準化 Z 值，判定是否落入拒絕域。
🔗 比例檢定計算步驟
- 1 設定假說 — 確認 $H_0: p \leq 0.5$，判定為右尾檢定
- 2 查表臨界值 — $\alpha=0.05$ 對應 $Z=1.645$
- 3 計算標準誤 — $\sqrt{0.5 \times 0.5 / 1024} = 0.015625$
- 4 求樣本比例門檻 — $\hat{p} > 0.5 + 1.645 \times 0.015625 \approx 0.5257$
- 5 換算最低人數 — $1024 \times 0.5257 \approx 538.3$，取整數 540
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🔄 延伸學習：延伸學習：當樣本數 $n$ 過小時，應考慮二項分布或進行連續校正。
