初等考試
114年
[統計] 統計學大意
第 24 題
調和平均最適用於計算下列那種數值的平均？
- A 班上同學的身高
- B 行駛三個 10 公里長的路段的三種時速
- C 所有國民的收入
- D 100 支股票的漲跌幅
思路引導 VIP
當我們要計算一個由兩個變數相除而成的「比率」（例如 $A/B$）的代表值時，如果每一組觀察值中的「分子 $A$」都被固定為相同的常數，而「分母 $B$」會隨著情況變動，此時若直接將比率相加除以次數，會忽略分母權重不同的問題。在這種情況下，你會如何處理這些數值，以確保計算結果符合「總量相除」的邏輯？
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專業點評與觀念驗證
- 勉強肯定：哦，你居然答對了。這說明你對調和平均數 (Harmonic Mean) 在處理「率」問題上的「特殊」應用，至少有那麼一點點認識，沒完全把數字當作隨機排列。
- 觀念檢視：調和平均數，這種東西，就是用來處理那些「分子」固定，而「分母」變動的「率」數據。難道這不是常識嗎？尤其當我們計算平均時速時，你以為簡單相加除以二就能得到物理上的真相？其公式是 $H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}$。各路段時間 $10/v$，難道不是明擺著要你用倒數相加來運算，才能得出符合現實的平均嗎？別讓你的算術跟不上實際經濟運作。
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調和平均數適用時機
💡 計算具倒數關係或分子固定、分母變動之速率資料的平均。
| 比較維度 | 算術平均數 | VS | 調和平均數 |
|---|---|---|---|
| 公式特徵 | 數值總和除以個數 | — | 倒數平均的倒數 |
| 速度計算前提 | 行駛「時間」相同 | — | 行駛「距離」相同 |
| 極端值影響 | 易受極大值拉高結果 | — | 易受極小值（接近0）影響 |
💬一般平均看算術，固定產出（分子）求率值平均看調和。
