高考申論題
114年
[港灣工程] 波浪力學(含潮汐)
第 一 題
不同頻率的波動會有不同的傳播速度，並可以頻散關係式（或稱為分散關係式）來表示。請寫出水波的頻散關係式，並藉此推導出淺水波與深水波的群速度。（15 分）
📝 此題為申論題
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本題測驗微小振幅波理論（Airy Wave Theory）的核心基礎。解題時應先寫出控制波動特性的頻散關係式，接著點出群速度的數學定義（角頻率對波數的微分）。最後分別代入淺水（$kh \to 0$）與深水（$kh \to \infty$）的漸近條件進行推導即可輕鬆拿分。
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【解題思路】利用 Airy 微小振幅波理論的頻散關係式，結合群速度的定義 $C_g = \frac{d\omega}{dk}$，分別代入淺水（$kh \to 0$）與深水（$kh \to \infty$）之極限漸近條件進行推導。 【詳解】 已知：線性波浪理論（Airy Wave Theory）之基本假設。
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水波頻散關係與群速度
💡 運用 Airy 微小振幅波理論，推導不同水深下波浪能量傳遞的速度。
| 比較維度 | 淺水波 (Shallow) | VS | 深水波 (Deep) |
|---|---|---|---|
| 適用水深條件 | h/L < 1/20 (kh → 0) | — | h/L > 1/2 (kh → ∞) |
| tanh(kh) 近似 | tanh(kh) ≈ kh | — | tanh(kh) ≈ 1 |
| 群速度 Cg 公式 | Cg = √(gh) | — | Cg = 1/2 * √(g/k) |
| 頻散特性 | 非頻散波 (速度與頻率無關) | — | 頻散波 (速度與頻率有關) |
💬淺水波能量與波峰同步移動 (Cg=C)，深水波能量傳遞僅為波速之半 (Cg=1/2C)。
