高考申論題
114年
[港灣工程] 波浪力學(含潮汐)
第 一 題
📖 題組：
五、(一) x 是水平距離、t 是時間；k、ω 皆為大於零的常數；g 是重力加速度（為計算方便，設為 10 m/s²）。根據微小振幅波理論，水位 η = cos(kx - ωt) 的前進波，其水粒子水平流速為 u = aω * cosh k(z + h) / sinh kh * cos(kx - ωt)。請將淺水波的條件代入上式，求淺水波造成的水粒子水平流速，並推導淺水波的水粒子水平流速 u 和水位 η 的關係。（10 分） (二) 海嘯在 4000 m 的深海傳播，最大水位 3 m。如果海嘯是前進波，請問以微小振幅波理論，此海嘯造成的最大流速是多少？（10 分）
五、(一) x 是水平距離、t 是時間；k、ω 皆為大於零的常數；g 是重力加速度（為計算方便，設為 10 m/s²）。根據微小振幅波理論，水位 η = cos(kx - ωt) 的前進波，其水粒子水平流速為 u = aω * cosh k(z + h) / sinh kh * cos(kx - ωt)。請將淺水波的條件代入上式，求淺水波造成的水粒子水平流速，並推導淺水波的水粒子水平流速 u 和水位 η 的關係。（10 分） (二) 海嘯在 4000 m 的深海傳播，最大水位 3 m。如果海嘯是前進波，請問以微小振幅波理論，此海嘯造成的最大流速是多少？（10 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
x 是水平距離、t 是時間；k、ω 皆為大於零的常數；g 是重力加速度（為計算方便，設為 10 m/s²）。根據微小振幅波理論，水位 η = cos(kx - ωt) 的前進波，其水粒子水平流速為 u = aω * cosh k(z + h) / sinh kh * cos(kx - ωt)。請將淺水波的條件代入上式，求淺水波造成的水粒子水平流速，並推導淺水波的水粒子水平流速 u 和水位 η 的關係。（10 分）
思路引導 VIP
本題測驗微小振幅波理論在淺水條件下的漸近簡化能力。考生看到淺水波，應直覺聯想到相對水深 $kh \to 0$，並利用泰勒展開將雙曲函數 $\cosh$ 近似為 1、$\sinh$ 近似為 $kh$，再結合淺水波的色散關係（波速 $c = \sqrt{gh}$）建立流速 $u$ 與水位 $\eta$ 的正比關係。
小題 (二)
海嘯在 4000 m 的深海傳播，最大水位 3 m。如果海嘯是前進波，請問以微小振幅波理論，此海嘯造成的最大流速是多少？（10 分）
思路引導 VIP
看到海嘯在深海傳播，切勿被「深海」二字誤導。海嘯的波長極長（常達數百公里），相對於 4000m 的水深，其相對水深 h/L 遠小於 1/20，在波動力學上絕對屬於「淺水波」。因此，解題關鍵在於直接套用淺水波水平流速與水位關係式 u = η√(g/h) 進行計算。
微小振幅波運動力學
💡 利用波長與水深關係（kh值）簡化雙曲函數，推導水質子運動方程式。
| 比較維度 | 淺水波 (Shallow Water) | VS | 深水波 (Deep Water) |
|---|---|---|---|
| 判定條件 | h/L < 1/20 (kh < π/10) | — | h/L > 1/2 (kh > π) |
| 流速垂直分布 | 均勻分布，不隨深度變化 | — | 隨深度呈指數形衰減 |
| 質子運動軌跡 | 扁平長橢圓，底部為直線 | — | 圓形軌跡 |
| 波速 C | 僅與水深有關 (√gh) | — | 僅與波長有關 (√gL/2π) |
💬海嘯因波長極長，其動力特性在任何水深下皆趨近於淺水波。
