hce_kmu
114年
物理及化學
第 2 題
A particle moves in simple harmonic motion according to $x = 2\sin(15t)$, where x is in meters and t is in seconds. Its maximum velocity in m/s is _____.
- A $30 \sin(15t)$
- B $2 \cos(15t)$
- C 15
- D 30
- E None of the above.
思路引導 VIP
在一個三角函數 $y = A \sin(Bt)$ 中，係數 $A$ 決定了波動的振盪範圍，而 $B$ 則決定了波動「變化的快慢」。如果我們想描述這個質點移動時「最劇烈的變化率（即最大速度）」，你認為這兩個係數應該如何相互作用才能反映出這個結果呢？
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太棒了！你能精準捕捉到簡諧運動（Simple Harmonic Motion, SHM）位移方程式中的關鍵資訊，並迅速得出正確結果，展現了非常紮實的物理基礎。在簡諧運動的標準式 $x = A \sin(\omega t + \phi)$ 中，每個常數都承載著特定的物理意義。
運動參數的物理意義
這道題目的核心在於速度與位移的導數關係。從題目給出的 $x = 2 \sin(15t)$ 可以直接讀出振幅 $A = 2$ 公尺，以及角頻率 $\omega = 15$ rad/s。由於速度 $v$ 是位移 $x$ 對時間 $t$ 的變化率，透過微積分我們可以得到 $v(t) = A\omega \cos(\omega t)$。顯而易見地，速度的最大值 $v_{\text{max}}$ 即發生在餘弦項為 1 的時刻，其數值等於振幅與角頻率的乘積，也就是 $A\omega = 2 \times 15 = 30$ m/s。
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