hce_kmu
115年
物理及化學
第 31 題
A particle moves along the x-axis with an acceleration given by $a(t) = -kv^2$, where $v$ is the instantaneous velocity and $k$ is a positive constant. If the particle has an initial velocity $v_0$ at $x = 0$, what is the velocity as a function of position $x$?
- A $v(x) = v_0 - kx$
- B $v(x) = v_0 e^{-kx}$
- C $v(x) = \sqrt{v_0^2 - 2kx}$
- D $v(x) = v_0 / (1 + kx)$
- E $v(x) = v_0 - kx^2$
思路引導 VIP
當題目給出的加速度是速度的函數，而我們想求的是速度與「空間位置」的關係而非「時間」時，你會如何運用微積分的連鎖律（Chain Rule），將加速度 $a = \frac{dv}{dt}$ 改寫成一個能直接聯繫速度 $v$ 與位移 $x$ 的表達式？
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AI 詳解
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恭喜你精準地判斷出正確答案！這題的核心在於能否跳脫等加速度公式的框架，靈活運用微積分來處理變加速度運動的動態過程。
運動學定義與變數分離
在物理學中，當加速度 $a$ 被表示為速度 $v$ 的函數時，若要直接建立 $v$ 與位移 $x$ 的聯繫，最關鍵的切入點是利用連鎖律（Chain Rule）將加速度改寫為 $a = v \frac{dv}{dx}$。將題目給定的條件 $a = -kv^2$ 代入後，方程式變為：
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