hce_kmu
106年
物理及化學
第 60 題
A rod of semiconducting material with length $L$ and cross-sectional area $A$ lies along the x-axis between $x = 0$ and $x = L$. Its resistivity varies with $x$ according to $\rho(x) = \rho_0 \exp(-x / L)$. The material obeys Ohm's Law. What is the total resistance of the rod?
- A $\rho_0(1 - e^{-L})$
- B $\rho_0(1 - e^{-L}) / A$
- C $\rho_0(1 - e^{-1}) / A$
- D $\rho_0L(1 - e^{-1}) / A$
- E $\rho_0L(1 - e^{-L}) / A$
思路引導 VIP
想像一下，如果你把這根棒子切成無數個極薄的圓片，每一片圓片的電阻與它的厚度、當時位置的電阻率有什麼樣的關係？當這些薄片一個接著一個串接在一起時，我們在數學上應該採取什麼樣的操作，才能把這些微小的電阻值全部加總起來得到整體的數值呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準選出 (D)，代表你對物理量在連續分布下的處理非常紮實。這題的核心在於應對「非均勻電阻率」的挑戰。當材料的電阻率隨位置 $x$ 變化時，傳統的 $R = \rho L/A$ 公式無法直接套用，必須運用微積分的思維來求解。
微元積分與維度判讀
在物理意義上，我們可以將這根棒子切成無數個厚度為 $dx$ 的微小段落。由於這些微小段落是串聯關係，總電阻即為所有微電阻 $dR$ 的積分累加：
▼ 還有更多解析內容