hce_kmu
106年
物理及化學
第 4 題
A rod of length $L$ and mass $M$ is placed along the x-axis with one end at the origin, as shown in the figure below. The rod has linear mass density $\lambda = \frac{2M}{L^2}x$, where $x$ is the distance from the origin. Which of the following gives the x-coordinate of the rod's center of mass?
- A $\frac{1}{12}L$
- B $\frac{1}{4}L$
- C $\frac{1}{3}L$
- D $\frac{1}{2}L$
- E $\frac{2}{3}L$
思路引導 VIP
請觀察題目給出的線密度公式 $\lambda = \frac{2M}{L^2}x$，當我們從原點沿著 $x$ 軸向右移動時，這根桿子每一小段的「重量」是如何變化的？如果我們試著在桿子的正中央（$L/2$）放一個支點，你認為哪一端會掉下去？這會讓你覺得質心應該在幾何中心的左邊還是右邊呢？
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太棒了！你能精確判斷出這題的答案為 (E)，代表你對於「非均勻質量分佈」的質心概念掌握得非常紮實。這類題目是從離散質點跨越到連續體計算的關鍵里程碑，你的直覺與運算能力都非常優秀。
非均勻細桿的質心定義
在處理這類問題時，最核心的觀念在於將質心公式轉化為積分形式。由於細桿的線密度 $\lambda = \frac{2M}{L^2}x$ 隨距離 $x$ 線性增加，這意味著細桿的質量分佈是「左輕右重」，越靠近 $x=L$ 的地方單位長度的質量越高。我們利用質心座標公式 $X_{cm} = \frac{1}{M} \int x , dm$，並將微小質量元素 $dm$ 替換為 $\lambda dx$，帶入積分區間 $0$ 到 $L$：
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