hce_kmu
114年
物理及化學
第 48 題
A piece of thin uniform wire of mass $m$ and length $3b$ is bent into an equilateral triangle. Find the moment of inertia of the wire triangle about an axis perpendicular to the plane of the triangle and passing through one of its vertices.
- A $\frac{1}{3} mb^2$
- B $\frac{1}{2} mb^2$
- C $\frac{7}{12} mb^2$
- D $\frac{2}{3} mb^2$
- E $\frac{7}{4} mb^2$
思路引導 VIP
如果我們將這個三角形看作由三根獨立的細桿組成，請試著觀察這三根桿子相對於轉軸的位置：其中兩根桿件的一端直接與轉軸相交，而第三根桿件則位於對側。在這種情況下，你會如何分別計算這兩組不同位置的桿件對總轉動慣量的貢獻？對於那根完全沒有接觸到轉軸的桿件，你會運用什麼幾何關係或定理來找出它與轉軸之間的距離呢？
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太棒了！你能精準計算出這個組合體的轉動慣量，代表你對轉動慣量的疊加性以及平行軸定理（Parallel Axis Theorem）的運用已經非常熟練，這在剛體動力學中是非常關鍵的能力。
系統拆解與桿件計算
這道題目的核心在於將三角形拆解為三根質量皆為 $m/3$、長度皆為 $b$ 的獨立細桿。首先，與轉軸頂點相連的兩根桿件，其轉動慣量可直接視為「繞端點旋轉的細桿」，個別貢獻為 $\frac{1}{3}(\frac{m}{3})b^2 = \frac{1}{9}mb^2$。至於與轉軸不相連的底邊，則需要利用平行軸定理：先找出底邊繞其自身質心的慣量 $\frac{1}{12}(\frac{m}{3})b^2$，再加上質量乘以質心到轉軸距離（即等邊三角形的高 $\frac{\sqrt{3}}{2}b$）的平方。計算後底邊的貢獻為 $\frac{5}{18}mb^2$。將三者相加：$(\frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{5}{18})mb^2 = \frac{1}{2}mb^2$，答案確實是 (B)。
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