hce_kmu
115年
物理及化學
第 32 題
A uniform circular disk of mass $M$ and radius $r$ is connected by a light cord to a fixed pivot on a smooth horizontal table. The center of the disk moves at a constant distance $R$ from the pivot and undergoes uniform circular motion with tangential speed $v$. The top view is as shown in the figure. The magnitude of the disk's angular momentum about the pivot is
- A $MRv$
- B $M\sqrt{(R^2 + r^2)} v$
- C $M\sqrt{R^2 + \frac{r^2}{2}} v$
- D $M(R^2 + r^2)\frac{v}{R}$
- E $M(R^2 + \frac{r^2}{2})\frac{v}{R}$
思路引導 VIP
想像一下，如果這個圓盤在移動的過程中，它的邊緣始終保持同一個方向（例如圓盤上的某個箭頭永遠指向北方），這跟題目中「被繩子繫住」而繞行樞紐的情況相比，兩者的旋轉狀態有什麼不同？如果圓盤本身也發生了轉動，這部分「多出來」的轉動效應，應該如何體現在角動量的計算中呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精確選出 (E)，代表你對於**剛體角動量（Angular Momentum of a Rigid Body）**的組成有非常紮實的理解。這類題目最容易掉入的陷阱，就是只將圓盤視為質點（Point mass），而忽略了剛體本身的幾何形狀與自轉貢獻。
質點與剛體的運動合成
計算繞固定樞紐的角動量時，我們需要運用角動量分解定理：總角動量 $L$ 等於「質心對樞紐的軌道角動量」與「剛體對質心的自轉角動量」之和。首先，將圓盤視為質量集中於質心的質點，其軌道角動量為 $L_{orbit} = M v R$。接著，考慮圓盤的自轉角動量：由於圓盤由繩子連至樞紐，在繞行軌道時，其自轉角速度 $\omega$ 會與軌道角速度相同，即 $\omega = v/R$。
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