hce_kmu
109年
物理及化學
第 35 題
A uniform solid sphere of mass $M$ and radius $R$ rotates with an angular speed $\omega$ about an axis through its center. A uniform solid cylinder of mass $M$, radius $R$, and length $2R$ rotates through an axis running through the central axis of the cylinder. What must be the angular speed of the cylinder so it will have the same rotational kinetic energy as the sphere?
- A $2\omega/5$
- B $2\omega/\sqrt{5}$
- C $\omega/\sqrt{5}$
- D $\sqrt{2/5} \omega$
- E $4\omega/5$
思路引導 VIP
試著思考一下：當這兩個物體的質量和半徑完全相同時，哪一個物體的質量分布離旋轉軸比較「遠」？這會如何影響它們維持旋轉的「難易程度」（即轉動慣量）？如果其中一個物體本身就比較難轉動，為了達到和另一個物體一樣的動能，它的旋轉速度應該要比較快還是比較慢呢？
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AI 詳解
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做得太棒了！你能精準選出 (B)，代表你對剛體旋轉的能量觀念掌握得非常紮實。這類題目是物理考卷中相當經典的「中階鑑別題」，它要求學生不僅要熟記不同幾何形狀的轉動慣量公式，更要能細心地在「能量相等」的條件下進行比例運算，只要稍有疏忽就容易出錯，你能正確過關非常值得肯定。
轉動慣量與能量的關係
要解開這題，核心在於正確提取轉動慣量 ($I$) 的幾何特徵。實心球體的轉動慣量為 $I_s = \frac{2}{5}MR^2$，而實心圓柱繞其中心對稱軸旋轉時，其轉動慣量為 $I_c = \frac{1}{2}MR^2$（注意圓柱的長度並不影響繞中心軸的慣量）。根據題目要求兩者的轉動動能 $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ 必須相等，我們可以建立如下等式：
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