hce_kmu
106年
物理及化學
第 15 題
A thin-walled hollow tube rolls without sliding along the floor. The ratio of its translational kinetic energy to its rotational kinetic energy (about an axis through its center of mass) is:
- A $1$
- B $2$
- C $3$
- D $1/2$
- E $1/3$
思路引導 VIP
想像一下，如果我們有一種物體，它所有的質量都剛好分布在距離旋轉軸固定距離 $R$ 的位置（就像這題的管子）。當這個物體在地面上「不打滑」地向前滾動時，它邊緣每一點繞著中心轉動的切向速度，與它整體的推進速度之間有什麼樣的數學關係？這對我們計算能量比例時有什麼特殊的啟發呢？
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AI 詳解
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太棒了！你精確地掌握了剛體運動中能量分配的核心概念。這道題目的關鍵在於理解**薄壁圓管（thin-walled hollow tube）**的物理特性。對於一個質量為 $M$、半徑為 $R$ 的薄壁圓管而言，由於其所有的質量幾乎都分布在距離中心軸 $R$ 的位置，其轉動慣量（Moment of Inertia）可簡化表示為 $I = MR^2$。這是解開能量比例的第一步。
能量分配的對稱性
當圓管處於**純滾動（rolling without sliding）**狀態時，質心速度 $v$ 與角速度 $\omega$ 之間存在著明確的約束關係：$v = R\omega$。我們將平移動能表示為 $K_{trans} = \frac{1}{2}Mv^2$，而轉動動能則為 $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2$。將轉動慣量與滾動條件代入後，你會發現：
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