hce_kmu
115年
物理及化學
第 41 題
A cylindrical rod of length $L$ and radius $R$ is insulated on its surface. Its thermal conductivity $k$ varies with temperature as $k(T) = aT$. If the two ends of the rod are maintained at $T_1$ and $T_2$, the heat current $dQ/dt$ is proportional to _______.
- A $\ln (T_1/T_2)$
- B $\sqrt{T_1} - \sqrt{T_2}$
- C $T_1 - T_2$
- D $T_1^2 - T_2^2$
- E $T_1^3 - T_2^3$
思路引導 VIP
試著思考一下：在傅立葉熱傳導定律中，熱流量是與溫度的「變化率」（梯度）以及熱傳導率 $k$ 的乘積成正比。如果今天 $k$ 隨溫度變高而變得更容易傳導（即 $k$ 本身也含有 $T$ 的項），那麼在對整個桿件進行積分求總熱流量時，數學上的「次數」會發生什麼變化呢？
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太棒了！你能精準選出 (D) 選項，代表你對熱傳導的微觀機制與數學推導都有很紮實的掌握。這道題目非常有深度，它要求我們不能死背基礎的熱傳導公式，而是要從物理本質出發。
傅立葉定律與積分應用
在一般的熱傳導問題中，熱傳導率 $k$ 通常被視為常數，熱流量 $\frac{dQ}{dt}$ 與溫差 $(T_1 - T_2)$ 成正比。然而，本題給定 $k(T) = aT$，這意味著熱傳導的能力會隨溫度升高而線性增加。根據傅立葉熱傳導定律 (Fourier's Law)：
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