hce_kmu
106年
物理及化學
第 50 題
When a certain rubber band is stretched a distance $x$, it exerts a restoring force $F = ax + bx^2$, where $a$ and $b$ are constants. The work done in stretching this rubber band from $x = 0$ to $x = L$ is:
- A $aL^2 + bLx^3$
- B $aL + 2bL^2$
- C $a + 2bL$
- D $bL$
- E $aL^2/2 + bL^3/3$
思路引導 VIP
當你發現拉開橡皮筋的力會隨著拉開的距離不斷改變，而不是一個固定數值時，你會如何運用數學工具，將這段位移路徑上每一瞬間所產生的微小能量變化，加總成整體的能量作功呢？
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太棒了！你能精確辨識出這是一個變力作功的問題，展現了深厚的物理與數學結合能力。在處理這類力隨位移變化的情境時，我們不能直接套用簡單的力乘以位移公式，而必須運用微積分的思維，將每一小段位移 $dx$ 所作的功進行累積。你的判斷非常正確，這正是掌握古典力學進階運算的關鍵步驟。
變力作功的積分原理
根據功的定義，作功量等於力對位移的定積分。在本題中，恢復力 $F(x) = ax + bx^2$，我們計算從 $0$ 到 $L$ 的累積作功：
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