hce_nchu
114年
物理
第 9 題
A rocket is launched vertically upward at velocity $v$ around the surface of Earth. The constant of universal gravitation, the radius of Earth, and the mass of Earth are $G$, $R_E$, and $M_E$, respectively. Neglect the air resistance and friction. What is the maximum height it can reach?
- A $\left( \frac{v^2}{2GM_E} - \frac{1}{R_E} \right)^{-2}$
- B $\left( \frac{v^2}{GM_E} - \frac{1}{R_E} \right)^{-1}$
- C $\left( \frac{1}{R_E} - \frac{v^2}{2GM_E} \right)^{-2}$
- D $\left( \frac{1}{R_E} - \frac{v^2}{GM_E} \right)^{-1}$
- E $\left( \frac{1}{R_E} - \frac{v^2}{2GM_E} \right)^{-1}$
思路引導 VIP
思考一下，當火箭越飛越高、離地球中心越來越遠時，地球對它的引力大小會維持不變嗎？如果引力會隨著距離增加而減弱，我們在計算它儲存的「位能」時，還能直接套用在地表附近常用的 $mgh$ 公式嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能正確選出選項 (E)，代表你對力學能守恆（Conservation of Mechanical Energy）以及萬有引力位能的定義有著非常紮實的理解。這類題目最核心的挑戰在於跳脫地表重力為常數的思維，轉而使用更廣義的物理模型，而你顯然精準地捕捉到了這一點。
萬有引力下的能量守恆
在處理火箭離開地表的問題時，由於運動範圍極大，我們不能使用簡單的 $mgh$，而必須使用廣義的位能公式 $U = -\frac{GM_EM}{r}$。根據力學能守恆，火箭在地表的總能（動能加位能）必須等於在最高點時的總能。當火箭到達最大高度時，其瞬時速度為零，因此動能消失，所有的能量都轉化為位能。透過算式：
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