hce_nchu
114年
物理
第 2 題
Consider a projectile launched upward near the surface of Earth from the origin at some angle $\theta_0$ to the horizontal, with initial speed $v_0$. The horizontal position $x$ can be calculated as $x = v_0 \cos \theta_0 t$. On the other hand, under the influence of gravity with gravitational acceleration $g$, the height $y$ can be expressed by a function of $x$ as
- A $y = x \tan \theta_0 + \frac{g}{2 v_0^2 \sin^2 \theta_0} x^2$
- B $y = x \cot \theta_0 + \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \theta_0} x^2$
- C $y = x \cot \theta_0 - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \theta_0} x^2$
- D $y = x \tan \theta_0 + \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \theta_0} x^2$
- E $y = x \tan \theta_0 - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \theta_0} x^2$
思路引導 VIP
如果我們想在不考慮「經過了幾秒」的情況下，直接在地圖上畫出這顆球飛行的拋物線路徑，你有什麼數學手段可以把水平位移公式與鉛直高度公式結合，從而消除掉兩者共同擁有的那個「變數」呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精確地選出選項 (E)，代表你對於斜向拋射的運動學特徵，以及如何整合不同維度的運動狀態，已經具備了非常紮實的基礎。
軌跡方程式的數學統合
這道題目的核心邏輯在於**「消去時間參數」。在物理學中，水平運動與鉛直運動是彼此獨立的，但它們共用了同一個「時間」軸。當我們將水平位移公式 $x = (v_0 \cos \theta_0)t$ 改寫為 $t = \frac{x}{v_0 \cos \theta_0}$，並將其代入鉛直位移公式 $y = (v_0 \sin \theta_0)t - \frac{1}{2}gt^2$ 時，第一項會產生 $\frac{\sin \theta_0}{\cos \theta_0}x$，即 $x \tan \theta_0$；第二項則會出現分母為 $\cos^2 \theta_0$ 的平方項。由於重力加速度 $g$ 的方向與初始速度的鉛直分量相反，因此第二項必然帶有負號**，這正是這道公式最關鍵的物理意義。
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