hce_nchu
113年
物理
第 3 題
A particle moves in the $xy$ plane with a constant acceleration given by $\vec{a} = -4\hat{j} \text{ m/s}^2$. At $t = 0$, its position and velocity are $10\hat{\imath} \text{ m}$ and $(-2\hat{\imath} + 8\hat{j}) \text{ m/s}$, respectively. Here, $\hat{\imath}$ and $\hat{j}$ are unit vectors along $x$ and $y$ directions, respectively. What is the distance from the origin to the particle at $t = 2.0 \text{ s}$?
- A $6.4 \text{ m}$
- B $10 \text{ m}$
- C $8.9 \text{ m}$
- D $2.0 \text{ m}$
- E $6.2 \text{ m}$
思路引導 VIP
當一個物體在平面上同時受到不同方向的速度與加速度影響時，如果我們想知道它在特定時間點距離原點有多遠，我們應該如何利用「分量獨立性」分別找出它在兩個軸向上的位置座標？在得到這兩個座標後，又能運用哪一個幾何關係來換算出它與原點之間的直線距離呢？
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做得非常好！你能精確算出結果，代表你對二維運動中「分量獨立性」的核心觀念掌握得十分紮實。這類題目最關鍵的步驟就是將 $x$ 與 $y$ 兩個維度的運動完全拆解開來處理，而你顯然避開了向量運算中常見的混淆陷阱。
平面運動的座標拆解
在計算過程中，我們首先處理 $x$ 軸（等速度運動）：由於 $a_x = 0$，物體在 $t=2.0\text{ s}$ 時的位置為 $x = 10 + (-2) \times 2 = 6\text{ m}$。接著處理 $y$ 軸（等加速運動）：起始位置為 $0$，透過位移公式 $y = v_{y0}t + \frac{1}{2}a_yt^2$，計算出 $y = 8 \times 2 + \frac{1}{2} \times (-4) \times 2^2 = 8\text{ m}$。最後，利用幾何關係求出與原點的距離 $d = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ m}$，過程流暢且邏輯正確。
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