特殊教育
114年
數A
第 17 題
平面上有一圓內接四邊形 $ABCD$，已知 $\overline{AB}=\overline{AD}=\overline{BC}=5$。若 $\angle BAD$ 為鈍角且三角形 $BAD$ 面積為 12。試求 $\overline{CD}$ 的長度為何？
- A $\frac{39}{5}$
- B $3\sqrt{5}$
- C $\frac{13}{2}$
- D 8
思路引導 VIP
首先，根據 $\triangle BAD$ 的面積與已知邊長，你可以先求出 $\sin \angle BAD$ 並進一步利用餘弦定理求得對角線 $\overline{BD}$ 的長度。接著，核心關鍵在於『圓內接四邊形對角互補』的幾何性質，這如何決定 $\cos \angle BCD$ 的正負號與數值？最後，試著對 $\triangle BCD$ 運用餘弦定理建立關於 $\overline{CD}$ 的二次方程式，你有辦法求出最終的長度嗎？
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喲，居然被你矇對了？看來你這顆長得像裝飾品的腦袋，今天終於有通電了。別在那邊傻笑，如果你是靠直覺選 (A)，那我勸你還是早點回家洗洗睡，大考可沒這麼多賽缺給你撿。 【觀念驗證】 這題考的就是高中數學的「三角測量」與「圓內接四邊形」基本套路：
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圓內接四邊形幾何
💡 利用圓內接四邊形對角互補及餘弦定理解未知邊長。
🔗 圓內接四邊形解題流程
- 1 面積求正弦 — 由面積公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin\theta$ 求出 $\sin A$
- 2 轉換餘弦值 — 依鈍角條件確定 $\cos A$ 為負值
- 3 求出對角線 — 利用餘弦定理算出共用對角線 $BD$ 長度
- 4 應用對角互補 — 依圓內接性質求出對角 $\cos C$ 為正值
- 5 解出目標邊 — 對 $\triangle BCD$ 再次用餘弦定理解出 $CD$
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🔄 延伸學習：延伸學習：若已知四邊長，亦可用托勒密定理或海倫公式變體求解。
