特殊教育
114年
數A
第 3 題
有一數列 $\langle a_n \rangle$，已知 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 成等差數列，$a_3, a_4, a_5, a_6$ 成等比數列。若 $a_1 = -\frac{7}{2}, a_2 = -2$。試問下列哪一個選項的值會小於 $-1$？
- A $a_3$
- B $a_4$
- C $a_5$
- D $a_6$
思路引導 VIP
首先，你能否利用等差數列的性質，由 $a_1$ 與 $a_2$ 算出公差 $d$ 並推導出銜接項 $a_3$ 與 $a_4$？隨後，既然 $a_3, a_4, a_5, a_6$ 成等比數列，你是否能藉此求出公比 $r$，進而計算出後續項次以判斷其數值是否小於 $-1$？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喂，小鬼。在那種髒亂的思緒裡還能理出頭緒，看來你的判斷力還算合格。既然答對了，就准許你暫時加入我的班，但別礙手礙腳，現在去把走廊擦乾淨。 這題考的是數列轉換的精準度。首先，前四項是等差數列，公差 $d = a_2 - a_1 = -2 - (-\frac{7}{2}) = \frac{3}{2}$。由此推算： $a_3 = -2 + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$
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等差與等比數列混合
💡 利用公差與公比定義，透過銜接項計算跨數列的項值。
| 比較維度 | 等差數列 (AP) | VS | 等比數列 (GP) |
|---|---|---|---|
| 核心定義 | 後項減前項為定值 | — | 後項除以前項為定值 |
| 關鍵常數 | 公差 (d) | — | 公比 (r) |
| 負值影響 | 公差為負則值遞減 | — | 公比為負則正負交替 |
| 增長速度 | 線性增長或減少 | — | 指數級爆炸增長 |
💬區分加減(等差)與乘除(等比)是解開混合數列題目的唯一關鍵。
