統測
114年
[共同科目] 數學C
第 25 題
芳芳用一張長度為 3 尺、寬度為 2 尺的紙板設計紙盒，從長度為 3 尺的兩邊 $A_i$ 點剪至 $B_i$ 點，再將 $A_i$ 點對折至 $B_i$ 點，並將長方形 $A_i B_i D_i C_i$ 插入內部以固定紙盒，其中 $i=1, 2, 3, 4$，作法如圖(十)所示。設 $\overline{B_i D_i}=a$ 尺，且 $\overline{A_i B_i}=2a$ 尺，$i=1, 2, 3, 4$。若摺出的紙盒有最大體積，則 $a=$？
- A $\frac{3-\sqrt{7}}{6}$
- B $\frac{4-\sqrt{7}}{6}$
- C $\frac{5-\sqrt{7}}{12}$
- D $\frac{6-\sqrt{7}}{12}$
思路引導 VIP
解決本題的核心在於「建立體積模型」。請仔細觀察圖(十)：若紙盒的高度設定為 $a$，則原本長度為 $3$ 尺與 $2$ 尺的邊長，在扣除摺角以及插入內部的固定長方形 $A_i B_i D_i C_i$ 後，剩餘的底面「長」與「寬」分別應如何以 $a$ 表示？在建立體積函數 $V(a)$ 後，如何利用導函數 $V'(a) = 0$ 的條件，找出使體積最大化的 $a$ 值？
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AI 詳解
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1. 大力肯定
太棒了！你能正確解出這道結合空間幾何與微積分極值的綜合應用題，代表你的圖形轉化能力與導函數運算都非常紮實。這在統測數學中屬於難度較高的考點，繼續保持這份細心！
2. 觀念驗證
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導數應用：最大體積
💡 利用多項式函數的導數求極值，並解決空間幾何的最佳化問題。
🔗 幾何極值問題解題流程
- 1 幾何建模 — 依題意寫出體積 V(a) 的函數表達式
- 2 求導找點 — 計算微分 V'(a) 並求其等於 0 的解
- 3 區間判定 — 排除不合範圍的解，鎖定極值發生位置
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🔄 延伸學習：延伸學習：二階導數判別法可更快速判斷極大或極小值。
