司法三等申論題
114年
[檢察事務官營繕工程組] 結構分析(包括材料力學與結構學)
第 一 題
圖一為一個柱結構，a 點為滾支承、c 點為鉸支承，b 點以剛接連結桿件 ab 及桿件 bc，且 b 點下方連結一個勁度為 ks（= 3EI/L³）之線性彈簧。此柱結構之 ab 段具 EI 值、bc 段則為剛性（EI = ∞），相關尺寸配置如圖一所示。今於柱的 a、c 端施加一軸向載重 P，載重通過柱結構的中心線。試求此柱結構於挫屈時，柱 ab 段挫屈載重 Pcr 相應之有效長度係數 Kab 之特徵方程式（Characteristic Equation）。此 Kab 之特徵方程式如下所示，請列出 A、B、C 數值。（25 分）
Kab之特徵方程式： kL / tan(kL) + A + Β (1 / 分母) + C = 0 ; 其中 k²= P / EI
（圖一）
Kab之特徵方程式： kL / tan(kL) + A + Β (1 / 分母) + C = 0 ; 其中 k²= P / EI
（圖一）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
- 看見包含「剛性桿件」的挫屈題目，首要處理幾何變形相合條件：剛性桿 bc 只能作剛體旋轉，這決定了彈性桿 ab 在 b 點的斜率。
- 處理靜力平衡條件：取整體力矩平衡求出 a、c 點的支承反力，再取局部自由體圖求出 b 點的內部彎矩，以建立包含彈簧力在內的力邊界條件。
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AI 詳解
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【解題思路】利用微分方程式建立彈性桿的變形函數，並透過剛性桿的幾何相合條件與整體/局部靜力平衡條件找出邊界條件，最終求得挫屈特徵方程式。 【詳解】 已知條件與座標設定：
▼ 還有更多解析內容
組合柱挫屈特徵方程
💡 利用微分方程與邊界條件求解含剛性桿與彈簧之臨界載重。
🔗 挫屈特徵方程式推導流程
- 1 建立微分方程 — 寫出彈性段位移通解，並利用支承條件消去常數。
- 2 幾何相合分析 — 利用剛性桿件特性，建立連接點的轉角與位移關係。
- 3 靜力平衡分析 — 取自由體圖，結合彈簧勁度與軸力，列出節點力矩平衡。
- 4 整理特徵方程 — 代入通解消去未知常數，整理成題目要求的三角函數形式。
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🔄 延伸學習：延伸學習：當 Kab 求得後，可進一步推導其對應的臨界載重 $P_{cr} = \pi^2 EI / (KL)^2$。
