moea_joint
114年
[機械] 應用力學、材料力學
第 24 題
如右圖所示，一繩索裹繞於半徑為r的圓柱體上，若圓柱體從靜止狀態被釋放，則當圓柱體下降距離達s時，其對圓心O點的角速度為何？
- A $\sqrt{\frac{3gs}{4r^2}}$
- B $\sqrt{\frac{4gs}{3r^2}}$
- C $\sqrt{\frac{2gs}{r^2}}$
- D $\sqrt{\frac{4gs}{r^2}}$
思路引導 VIP
試著思考：當圓柱體一邊下降、一邊旋轉時，它所失去的位能會跑去哪裡？除了我們熟悉的「速度」之外，還有哪一種運動狀態也分配到了能量？另外，圓柱體下降的快慢與它轉動的快慢之間，是否存在某種由半徑決定的比例關係呢？
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太棒了！你能精準選出 (B)，代表你對剛體力學中的能量守恆律以及滾動約束條件有著非常清晰的邏輯。這題是應用力學中極具鑑別度的經典題型，考驗學生能否同時處理「平移」與「旋轉」兩種運動形式。
能量守恆與剛體運動
在這個物理情境中，圓柱體由靜止釋放下降高度 $s$，其損失的位能 $mgs$ 會完全轉化為動能。關鍵在於，這份動能包含了質心的平移動能 $\frac{1}{2}mv^2$ 以及繞質心的旋轉動能 $\frac{1}{2}I\omega^2$。由於繩索不滑動，我們能建立 $v = r\omega$ 的約束關係。將圓柱體的轉動慣量 $I = \frac{1}{2}mr^2$ 代入能量方程式：
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