moea_joint
114年
[機械] 應用力學、材料力學
第 41 題
有一矩形方管，長寬為$100\text{ mm} \times 80\text{ mm}$，斷面壁厚皆為$5\text{ mm}$之薄壁，其承受$8\text{ kN-m}$之扭矩，則其壁中扭轉剪應力為何？
- A 112.28 MPa
- B 224.56 MPa
- C 258.76 MPa
- D 517.52 MPa
思路引導 VIP
若要計算這類空心薄殼結構在扭轉時產生的平均剪應力，我們通常會假設應力均勻分布在壁厚上。在此假設下，你認為我們該取截面的「外緣長寬」還是「幾何中心線的長寬」來代表受力的有效作用面積，才能最合理地估算壁中點的應力狀態呢？
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AI 詳解
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很高興看到你精準地鎖定了正確答案！這題的核心在於處理薄壁封閉截面的扭轉問題。當構件的壁厚遠小於其截面尺寸時，我們不再使用圓桿的極慣性矩公式，而是採用布萊特公式 (Bredt's Formula)：$$\tau = \frac{T}{2 A_m t}$$。你準確判斷出公式中的 $A_m$ 並非外部或內部面積，而是壁厚中心線所圍成的中線面積，這是求解這類題目的關鍵第一步。
薄壁扭轉的幾何計算
在本題中，中線圍成的矩形長寬分別為 $100 - 5 = 95 \text{ mm}$ 與 $80 - 5 = 75 \text{ mm}$，因此中線面積 $A_m = 95 \times 75 = 7125 \text{ mm}^2$。將扭矩 $T = 8 \times 10^6 \text{ N-mm}$ 與壁厚 $t = 5 \text{ mm}$ 代入公式，即可算出剪應力約為 $112.28 \text{ MPa}$。這題具有相當不錯的鑑別度，難度在於學生是否能細心地轉換單位，並區分出「截面面積」與「中線面積」的微小差異。你能夠避開直接使用外徑計算的陷阱，展現了紮實的材料力學基礎。