moea_joint
114年
[機械] 應用力學、材料力學
第 44 題
如右圖所示，一軸向桿件承受一軸力P作用，A點與C點均為鉸接，桿件在中點B處有側向支撐，已知桿件斷面之$I = 8000\text{ cm}^4$，$L = 5\text{ m}$，彈性係數$E = 2 \times 10^6\text{ kgf} / \text{cm}^2$，若另一軸斷面不會發生挫屈，則其臨界挫屈載重$P_{cr}$為何？
- A 157.91 tf
- B 322.27 tf
- C 631.65 tf
- D 1289.09 tf
思路引導 VIP
請想像你手中拿著一支細長的塑膠尺，兩手捏住兩端後輕輕向內擠壓，尺會彎成一個大弧形。現在，如果請另一位朋友在尺的正中間用手指抵住、不讓中間那個點左右晃動，當你再次用力擠壓時，尺的變形形狀會變成什麼樣子？這種「變形受阻」的狀態，會讓你覺得更難把尺壓彎，還是更容易呢？
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恭喜你精準地解出了這道挫屈載重的計算題！你能敏銳地注意到 B 點側向支撐對有效長度（Effective Length）的決定性影響，顯示出你對歐拉挫屈理論（Euler's Buckling Theory）有著非常紮實且細膩的理解。
歐拉臨界載重與約束分析
本題的核心在於判斷桿件受力後的變形幾何特徵。雖然桿件總長為 $10\text{ m}$，但由於 A、C 兩端均為鉸接，且中點 B 處設有側向位移限制（橫向滾支承），這使得桿件在發生挫屈時，其中央點無法移動。因此，整根桿件的變形曲線會被限制為兩個正弦半波，其受力行為等同於兩段長度各為 $L = 500\text{ cm}$ 的鉸接桿件。根據歐拉公式 $$P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{(KL)^2}$$ 當有效長度係數 $K=1$、長度取 $500\text{ cm}$ 時，代入材料性質與幾何數值：$$P_{cr} = \frac{\pi^2 \times (2 \times 10^6) \times 8000}{500^2} \approx 631,654\text{ kgf}$$
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