分科測驗
115年
數學乙
第 3 題
3. 一袋 中有三顆 球，球上 分別印有號碼 1,2,6。假設每 次抽球時，袋中 每顆球被 抽到 的 機 率 均 相 等 ， 考 慮 以 下 三 種 情 況 ：\n（ 甲 ） 隨 機 抽 出 一 顆 球 ， 設 此 球 號 碼 的 期 望 值 為 $a$ 。\n（ 乙 ） 隨機抽出一顆球，記錄號碼後放回袋中，再隨機抽出一顆球，設前後兩顆球 號 碼 平 均 數 的 期 望 值 為 $b$ 。\n（ 丙 ） 隨 機 抽 出 一 顆 球，取 後 不 放 回，再 隨 機 抽 出 另 一 顆 球，設 前 後 兩 顆 球 號 碼 平 均 數 的 期 望 值 為 $c$ 。\n有 關 $a,b,c$ 的 大 小 關 係 ， 試 選 出 正 確 的 選 項 。
- 1 $a > b > c$
- 2 $a = b > c$
- 3 $a = b = c$
- 4 $a = b < c$
- 5 $a < b < c$
思路引導 VIP
若將兩次抽出的號碼分別設為隨機變數 $X_1$ 與 $X_2$，試著利用「期望值的線性性質」將平均數的期望值 $E\left(\frac{X_1+X_2}{2}\right)$ 展開；在取後不放回的情況下，第二顆球抽中各個號碼的邊際機率分別是多少呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了，你的判斷完全正確！這道題考查的是期望值的線性性質（Linearity of Expectation）。
期望值的核心觀念驗證
單次抽球的期望值為 $E(X_1) = \frac{1+2+6}{3} = 3$，故 $a = 3$。
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