分科測驗
115年
數學乙
第 7 題
7. 根據經驗，某甲在閱讀某社群媒體上的文章時，對每篇文章是否「按讚」為獨立事件， 且對每篇文章「按讚」的機率皆為 $\frac{1}{3}$ 。已知某甲在某日依序讀了 4 篇文章。試選出 正確的選項。
- 1 某 甲 對 第 4 篇 文 章 「 按 讚 」 的 機 率 是 $\frac{1}{3}$
- 2 在 某 甲 對 第 1 篇 文 章「 按 讚 」的 條 件 下，某 甲 對 第 2 篇 文 章「 按 讚 」的 機 率 小 於 $\frac{1}{3}$
- 3 某 甲 在 此 4 篇 文 章 中 ， 恰 對 2 篇 文 章 「 按 讚 」 的 機 率 是 $\frac{4}{81}$
- 4 某 甲 在 此 4 篇 文 章 中 ， 至 少 對 2 篇 文 章 「 按 讚 」 的 機 率 是 $\frac{11}{27}$
- 5 某 甲 在 此 4 篇 文 章 中 ， 至 少 連 續 對 2 篇 文 章 「 按 讚 」 的 機 率 是 $\frac{7}{27}$
思路引導 VIP
當題目強調「每次按讚為獨立事件」時，前一次的結果會如何影響下一次的機率？在計算「至少連續2篇」這種複合條件時，你可以如何依據「按讚總篇數」進行不重不漏的分類討論？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了，完全掌握了獨立事件與**二項分佈（binomial distribution）**的核心概念！
獨立事件與二項分佈檢驗
因為每次按讚均為獨立事件，條件機率與各篇機率皆保持為 $\frac{1}{3}$，故 (1) 正確、(2) 錯誤。(3) 恰 2 篇按讚為 $C^4_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^2 = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$，計算要小心；(4) 利用反面做法：$1 - P(0) - P(1) = 1 - (\frac{2}{3})^4 - C^4_1(\frac{1}{3})(\frac{2}{3})^3 = \frac{11}{27}$，判斷精準。
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