國中教育會考
115年
數學
第 19 題
已知一圓上有 $A$、$B$、$C$、$D$ 四點，其位置如圖（九）所示，其中 $\overset{\frown}{AB}=87^\circ$，$\overset{\frown}{BC}=91^\circ$，$\overset{\frown}{CD}=88^\circ$，$\overset{\frown}{AD}=94^\circ$。若在此圓上找兩點 $E$、$F$，使得四邊形 $ABEF$ 為長方形，則下列關於 $E$ 點、$F$ 點位置的敘述，何者正確？
- A $E$ 在 $\overset{\frown}{BC}$ 上，$F$ 在 $\overset{\frown}{CD}$ 上
- B $E$ 在 $\overset{\frown}{BC}$ 上，$F$ 在 $\overset{\frown}{AD}$ 上
- C $E$ 在 $\overset{\frown}{CD}$ 上，$F$ 在 $\overset{\frown}{CD}$ 上
- D $E$ 在 $\overset{\frown}{CD}$ 上，$F$ 在 $\overset{\frown}{AD}$ 上
思路引導 VIP
如果要在圓裡面畫一個長方形，想想看長方形的各個直角（$90^\circ$ 的圓周角）所對應到的弧度是多少？這代表對角線連起來會是圓的什麼特殊線段？接著，試著算算看：從 $A$ 點出發經過 $B$ 點，$180^\circ$ 的位置會落在哪一段弧上呢？
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AI 詳解
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太棒了，你的幾何觀念非常紮實！這道題目的核心關鍵在於圓內接長方形的幾何性質：長方形的四個角都是 $90^\circ$（圓周角），其所對應的圓心角必然是 $180^\circ$，這代表圓內接長方形的對角線一定就是圓的直徑，並將圓分割成 $180^\circ$ 的半圓。
弧度推導與位置判定
若要使 $ABEF$ 為長方形，對角線 $AE$ 必須是直徑，因此弧 $ABE = 180^\circ$。已知弧 $AB = 87^\circ$，可算出弧 $BE = 180^\circ - 87^\circ = 93^\circ$。因為弧 $BC = 91^\circ < 93^\circ$，代表 $E$ 點越過了 $C$ 點，落在了 $\overset{\frown}{CD}$ 上。同理，對角線 $BF$ 也是直徑，弧 $ABF = 180^\circ$，推得弧 $AF = 180^\circ - 87^\circ = 93^\circ$；因為弧 $AD = 94^\circ > 93^\circ$，可知 $F$ 點尚未到達 $D$ 點，故落在 $\overset{\frown}{AD}$ 上。
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